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精品课程系列:应用随机过程

一、课程简介

主讲教师:张波张景肖肖宇谷

指定教材:张波、张景肖《应用随机过程》,清华大学出版社

授课对象:中国人民大学统计学、精算专业大三学生

学分学时:3学分,共48学时

考核方式:闭卷考试

目的要求:针对专业特点和专业要求,力求以概率论的观点来讲述随机过程的理论,逐步培养学生利用随机过程的理论和技能解决应用概率问题。培养学生运用随机过程的方法分析问题、解决问题的能力。

二、课程讲义及历年考题

第1章 预备知识
第2章 随机过程的基本概念和类型
第3章 Poisson过程
第4章 更新过程
第5章 Markov链
第6章 鞅
第7章 Brown运动
第8章 随机积分
历年考题(200820092010

三、教学进度及内容

分15讲授课,每讲3个学时,第16次课程进行最终考核。内容安排如下:

第一讲 概述和泊松过程

  1. 随机过程的基本概念和基本类型
  2. 泊松过程的两个等价定义

第二讲 泊松过程

  1. 与泊松过程相联系的若干分布
  2. 泊松过程的推广:非齐次泊松过程、复合泊松过程、条件泊松过程

第三讲 更新过程

  1. 更新过程的定义
  2. 更新函数
  3. 更新方程
  4. 更新推理

第四讲 更新过程

  1. 更新定理:初等更新定理、布莱克威尔定理、关键更新定理
  2. 更新过程的推广:延迟更新定理、更新酬劳过程、交错更新过程

第五讲 Markov链

  1. Markov链和Markov性的定义,Markov链的特征及条件
  2. Markov链转移概率矩阵
  3. Chapman–Kolmogorov方程
  4. Markov链中相通、类、周期、常返态、瞬时态、正常返、零常返等概念

第六讲 Markov链

  1. 赌徒输光模型概率转移问题
  2. 极限定理

第七讲 Markov链

  1. 极限定理
  2. Markov链的不变分布
  3. 分支过程:单个个体开始的群体灭绝的概率求解问题

第八讲 Markov链

  1. 人口结构变化的Markov链模型
  2. 连续时间的Markov链
  3. 生灭过程
  4. Kolmogorov微分方程

第九讲 鞅

  1. 条件期望的概念和基本性质
  2. 上鞅、下鞅和鞅的概念
  3. 停时的概念

第十讲 鞅

  1. 停时定理
  2. 运用停时定理来解决赌徒模型中的问题
  3. 一致可积性的含义和判别条件
  4. 停时定理的应用

第十一讲 鞅

  1. 鞅收敛定理
  2. 利用鞅收敛定理来解决分支过程、随机游走以及Polya模型的问题
  3. 连续鞅的含义和性质
  4. 鞅在Lundberg-Cramer破产模型中的应用

第十二讲 布朗运动

  1. 布朗运动和随机游走的联系
  2. 布朗运动过程的定义
  3. 布朗运动路径的性质
  4. 布朗运动在[0, t]二次变差为t

第十三讲 布朗运动

  1. Gauss过程
  2. 布朗运动的鞅性质
  3. 布朗运动过程中的击中时和布朗运动的最大值变量

第十四讲 布朗运动

  1. 布朗桥
  2. 在一个值处被吸收的布朗运动
  3. 在原点反射的布朗运动
  4. 几何布朗运动
  5. 有漂移的布朗运动

第十五讲 伊藤积分和期权定价公式

  1. 伊藤积分
  2. BS期权定价公式

四、推荐书目

  • Ross, Stochastic Processes, 2nd edition, Wiley
  • Lawler, Introduction to Stochastic Process, 2nd edition, Chapman & Hall/CRC.
  • William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd Edition, Wiley.
  • William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, 2nd Edition, Wiley.

详情参见指定教材247页文献评注及参考文献。