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[火光摇曳]神奇的伽玛函数(下)

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五、$ \Gamma(n) = (n-1)!$ 还是 $ \Gamma(n) = n! $ ? 

伽玛函数找到了,我们来看看第二个问题,为何伽玛函数被定义为满足 $\Gamma(n)=(n-1)!$? 这看起来挺别扭的,如果我们稍微修正一下,把伽玛函数定义中的 $t^{x-1}$ 替换为 $t^x$
$$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x}e^{-t}dt , $$
这不就可以使得 $\Gamma(n)=n!$了嘛。估计数学界每年都有学生问这个问题,然而答案却一直有一些争议。

欧拉最早的伽玛函数定义还真是如上所示,选择了$\Gamma(n)=n!$,事实上数学王子高斯在研究伽玛函数的时候, 一直使用的是如下定义:
$$ \Pi(x)=\int_{0}^\infty t^x e^{-t}\,dt ,$$
然而这个定义在历史上并没有流传开来。

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勒让德肖像水彩画

欧拉在伽玛函数的推导中实际上引入了两类积分形式
$$ \int_0^1 t^{x}(1-t)^{y}dt, \quad \quad \int_0^{\infty} t^{x}e^{-t}dt $$
现在我们分别称为欧拉一类积分和欧拉二类积分。勒让德追随欧拉的脚步,发表了多篇论文对欧拉积分进行了深入的研究和推广,不过在勒让德的研究中,对积分中的参数做了 $-1$的移位修改,主要定义为
$$ B(x, y) = \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt $$

$$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt .$$
$B(x,y)$ 现在称为贝塔积分或者贝塔函数。其中$\Gamma(x)$ 的这个定义选择导致了 $ \Gamma(n) = (n-1)!$ 。实际上伽马函数中的$\Gamma$符号历史上就是勒让德首次引入的,而勒让德给出的这个伽玛函数的定义在历史上起了决定作用,该定义被法国的数学家广泛采纳并在世界范围推广,最终使得这个定义在现代数学中成为了既成事实。

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[火光摇曳]神奇的伽玛函数(上)

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一、开篇

数学爱好者们汇集在网络论坛上的一大乐事就是对各类和数学相关的事物评头论足、论资排辈。如果要评选历史上最伟大的数学家,就会有一大堆的粉丝围绕高斯、黎曼、牛顿、欧拉、阿基米德等一流人物展开口水战;如果要讨论最奇妙的数学常数,$e, \pi, \phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2} $ 肯定在候选队列中;如果要推举最美丽的数学公式,欧拉公式 $e^{i\pi} + 1= 0$ 与和式 $ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} $ 常常被数学爱好者们提及;如果有人追问最神奇的数学函数是什么? 这个问题自然又会变得极具争议,而我相信如下这个长相有点奇特的伽玛函数
$$ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt $$
一定会出现在候选队列中。

伽玛函数不是初等函数,而是用积分形式定义的超越函数,怎么看都让人觉得不如初等函数自然亲切。然而伽玛函数也被称为阶乘函数,高等数学会告诉我们一个基本结论:伽玛函数是阶乘的推广。通过分部积分的方法,容易证明这个函数具有如下的递归性质
$$\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$$
由此可以推导出,对于任意的自然数$n$
$$\Gamma(n) = (n-1)! .$$
由于伽玛函数在整个实数轴上都有定义,于是可以看做阶乘概念在实数集上的延拓。

如果我们继续再学习一些数学,就会惊奇地发现这个具有神秘气质的伽玛函数真是才华横溢。她栖身于现代数学的各个分支,在微积分、概率论、偏微分方程、组合数学, 甚至是看起来八竿子打不着的数论当中,都起着重要的作用。 并且这个函数绝非数学家们凭空臆想的一个抽象玩具,它具有极高的实用价值,频繁现身于在现代科学尤其是物理学之中。

笔者对数学的涉猎很有限,主要是从概率统计中频繁地接触和学习这个函数,不过这个函数多年来一直都让我心存疑惑:

  • 都说$n!$ 和伽玛函数是近亲,可是从相貌上这两个数学公式都差了十万八千里,历史上数学家们是如何找到这个奇特的函数的?
  •  现代数学对伽玛函数的定义使它满足 $\Gamma(n) = (n-1)!$,既然号称是$n!$ 的推广,为何定义伽玛函数的时候不让它满足$\Gamma(n) = n!$?这看起来不是更加舒服自然吗?
  •  伽玛函数是唯一满足阶乘特性的推广函数吗?
  •  伽玛函数在各种概率分布的密度函数中频繁出现,伽玛函数本身是否有直观的概率解释?

带着这些疑问,笔者翻阅了许多讲解伽马函数历史和应用的资料,发现伽玛函数真是一个来自异族的美女,与生俱来携带着一种神秘的色彩。你要接近她并不难,然而她魅力独特,令你无法看透。从她出生开始,就吸引着众多一流的数学家对她进行解读。 历史上伽玛函数的发现,和数学家们对阶乘、插值以及积分的研究有着紧密的关系,而这最早要从著名的沃利斯公式讲起。

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