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关于概率论主干课程的训练

1. 引言

虽然外界不大能区分“概率论”和“统计学”的差别,但是在概率统计专业内的人士们看来,这两者无论从思维方式、课程学习还是学术训练角度来看,区别还是相当明显的。比如我了解的北大概率统计系的情况,概率论和数理统计分属不同的教研室,日常的学术活动也大相径庭。研究生除了第一年会一起上专业基础课之外,之后就少有交集。我当年的体会是,在统计专业同学们的眼中,“概率论跟基础数学没有什么区别”;而在概率专业的同学看来,“统计学不像是数学”。这些对彼此颇为玩味的看法至少表现出二者之间不小的差别,即便同在“概率统计专业”的屋檐下。当然,随着统计学在我国逐步确立为一级学科,概率和统计的这种“隔阂”也许会更加明朗化。

但不可否认的是,无论统计学的未来如何发展,其主干课程中必然少不了像概率论、随机过程这样的概率基础课程。以前我在科学网上针对概率论专业的同学如何选择和学习课程发表过一些建议,因此针对咱们COS读者的背景,我重新整理了一份关于概率课程学习的若干想法,希望能对大家有所帮助。

2. 概率论要怎么学?

都说概率论是研究“随机现象”的数学,那么相对于研究“非随机现象”的数学,概率论的学习有哪些特别之处呢?

小时候咱们学数学都是从数数开始。比如学习1+1的时候,老师们会拿出两个苹果,用实物演示“一个苹果加一个苹果等于两个苹果”。正是这种基于直截了当的“观测”,我们接受起“1+1=2”这件事来就略显自然。然而,如果要理解“质地均匀的硬币出现正反面的可能性都等于二分之一”这件事,就并非那么顺利了。即便主观上我们会认同这个结果,但从观测的角度却是一个永远无法回答的问题。我们能观测的只能是有限的样本以及永远都在变化着的频率,而这个“真实的可能性”,也即“概率”的确切值,却是无法观测的。因此,概率的定义本身就曾经是一个大难题。即便在早年研究赌博问题的时候,一些数学家即能根据排列组合的方法计算一些简单的离散概率(即大家熟知的古典概型),但那主要是基于人们对概率的一些朴素认识,离构建一套完整的数学理论还差得很远。

因此,大家在学习概率论的时候,最先遇到、也是最重要的一个问题就是“如何定量描述随机现象”,即如何给出概率的定义。随着二十世纪30年代苏联数学家柯尔莫哥洛夫(1903-1987) 运用分析学中的测度理论(measure theory)完成了概率论的公理化体系,概率论才算正式登上了现代数学的殿堂。事实上,柯尔莫哥洛夫的公理化体系并未直面“概率是什么”的问题,到现在人们对于概率在哲学层面的思辨仍然在进行,但是公理化的作用是将人们对于概率的一些朴素共识或者基本性质抽象出来,形成一套公理体系,然后依据这套体系逐步发展出一套概率理论。这种思维跟当年德国数学家希尔伯特(1862-1943)所倡导的公理化思想是相一致的。值得一提的是,自打柯尔莫哥洛夫的概率公理化提出以来,对其的质疑从来就没有停止过,也不断有新的概率理论被提出,但这套理论依旧成为了概率研究的绝对主流,我们这里所谈到的概率论的学习也是指以柯尔莫哥洛夫公理化体系为基础的概率理论。

然而,在本科阶段我们学习概率论课程的时候,却往往不是从介绍柯尔莫哥洛夫的公理化体系开始。这主要是因为,要用严格的数学充分阐释概率论的公理化体系,必须要有测度论的数学基础。而测度论的课程难度很大,基本要在研究生阶段或者本科的高年级阶段才能开设。那是否要等大家学完了测度论之后再学概率论的课程呢?当然不是,就我了解全世界没有哪个国家和地区的学校会这么做。普遍的做法是在大学二年级就会开设初等概率论的课程,所适用的教材也大多基于微积分和线性代数的先修知识。这又是为什么呢?在由美国概率学家Rick Durrett教授所著的研究生教材Probability: Theory and Examples的前言部分,他提到概率论有两只手,左手是基于测度论的严格数学,右手则是概率的思考方法,也可以理解成概率的物理直观。

虽然测度论是概率论的基本数学语言,但如果真把概率论就当做测度论的一部分去学习,就只抓住了概率论两只手中的一只,而忽略了另一只联系物理直观的右手。而这只右手恰恰是概率论在现代数学之林中最难能可贵的地方。一直以来,概率论都保持了与包括物理学在内的科学领域的亲近,几乎所有的概率研究课题背后都有实际背景问题的支撑:例如离散空间随机游动问题与理论计算机、化学高分子聚合物理论;大偏差理论、粒子系统与统计物理、复杂性科学等等之间的密切联系,都极大推动了概率论这门科学的不断发展。同时,概率论的发展也得到了来自社会科学领域的刺激,特别是以随机微分方程为代表的随机分析学已经成为了数理金融领域中的基本理论和工具之一。更有趣的是,借助概率论广泛联系物理直观的特点,很多数学家纷纷借助概率论的思想帮助解决了一系列传统数学中的很多重大问题,例如当年佩雷尔曼在解决庞加莱猜想的论证过程中即用到了概率论中条件期望的想法。

因此,为了尽早让大家了解概率论所联系的物理直观以及巨大的应用价值,学校会提早开设本科概率论的课程。本科课程会尽量回避测度论,用一些仅需用微积分和线性代数就讲明白的模型,引入概率论的基本概念,培养大家的概率直观,并熟悉一些基本运算。经过了这一阶段的训练,待到本科高年级或者研究生阶段,再借助测度论的基础,进一步明确概率论的数学理论,从而迈入现代概率论的门槛。

下面我们就来具体聊聊本科和研究生的课程学习:
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蒲丰投针问题的推广

蒲丰投针问题是一个非常经典的问题,两百多年来,一直受到学者们的广泛关注和研究,并衍生出了很多非常有意思的变种问题。本文利用坐标系变换、几何概率方法巧妙地求出了:往矩形网格上随机投椭圆,该椭圆恰好包含在某个矩形中间的概率,并将结果拓展到了平行四边形网格的情形下。

具体内容,参见此pdf文档

注:

  1. 本文作者为中南大学数学院应数专业蔡永强同学,感谢他的授权,使得本文可以在此分享。
  2. 附件pdf文档是由手写稿扫描转换而成,也欢迎广大统计学子向COS主站投稿。

浅谈Buffon投针问题及其推广

公元1777年,法国科学家D·布丰(D.Buffon 1707~1788)设计了一个巧夺天工的实验:往间距为a的平行线族之间投掷长为L 的针,可以计算出针和平行线相交的概率为:
pi_2ltopia
根据此式,可以得到pi的近似估计值,这的确是一个伟大的、奇妙而划时代的实验,可算是蒙特卡罗模拟中的鼻祖和经典了。在大多数教材上,这个概率都是用积分或二重积分计算得来的,比较繁琐,在matrix67的博客中,我欣慰而惊奇地看到了一种非常简便、直观的解法,感慨了一番,也稍微思考了一番。

期望值的一个最引人注目的性质就是,E(A+B)=E(A)+E(B),不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝,不管它被弯成了什么形状,扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的,并且这个值是和L成正比的。这是因为,我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成;而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的,那么由期望值的线性关系,整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L,其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少,我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到,把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆,则把它扔到地上之后,它与这组平行线总有两个交点。这就是说,pi的c倍就等于2,即c等于2/pi。自然,一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi;而由于这根针与平行线要么没有交点,要么就只有一个交点,因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。——matrix67

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