标签归档:分解

奇异值分解和图像压缩

【2.18更新】:楠神写了一个非常gelivable的Shiny应用,用来动态展示图片压缩的效果随k的变化情况。谢大大把这个应用放到了RStudio的服务器上,大家可以点进去玩玩看了。

=====================代表正义的分割线=====================

今天我们来讲讲奇异值分解和它的一些有意思的应用。奇异值分解是一个非常,非常,非常大的话题,它的英文是 Singular Value Decomposition,一般简称为 SVD。下面先给出它大概的意思:

对于任意一个 $m\times n$ 的矩阵 $M$,不妨假设 $m>n$,它可以被分解为

$$M=UDV^T$$

其中

  • $U$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵,满足 $U^T U=I_n$,$I_n$ 是 $n\times n$ 的单位阵
  • $V$ 是一个 $n\times n$ 的矩阵,满足 $V^T V=I_n$
  • $D$ 是一个 $n\times n$ 的对角矩阵,所有的元素都非负

先别急,我看到这个定义的时候和你一样晕,感觉信息量有点大。事实上,上面这短短的三条可以引发出 SVD 许多重要的性质,而我们今天要介绍的也只是其中的一部分而已。

继续阅读奇异值分解和图像压缩