因果推断简介之三:R. A. Fisher 和 J. Neyman 的分歧

R.A. Fisher
这部分谈到的问题非常微妙:完全随机化试验下的 Fisher randomization test 和 Neyman repeated sampling procedure。简单地说,前者是随机化检验,或者如很多教科书讲的Fisher 精确检验 (Fisher exact test);后者是 Neyman 提出的置信区间 (confidence interval)理论。

我初学因果推断的时候,并没有细致的追求这些微妙的区别,觉得了解到简介之二的层次就够了。不过在 Guido Imbens 和 Donald Rubin 所写的因果推断教科书(还未出版)中,这两点内容放在了全书的开端,作为因果推断的引子。在其他的教科书中,是看不到这样的讲法的。平日里常常听到 Donald Rubin 老爷子对 Fisher randomization test 的推崇,我渐渐地也被他洗脑了。

Fisher 的随机化检验,针对的是如下的零假设,又被称为 sharp null:  $$H_0 : Y_i(1) = Y_i(0), \forall i = 1,\cdots,n.$$ 坦白地说,这个零假设是我见过的最奇怪的零假设,没有之一。现行的统计教科书中,讲到假设检验,零假设都是针对某些参数的,而 Fisher 的 sharp null 看起来却像是针对随机变量的。这里需要讲明白的是,当我们关心有限样本 (finite sample)的因果作用时,每个个体的潜在结果 $ \{Y_i(1), Y_i(0)\} $ 都是固定的,观测变量 $Y_i = Z_i Y_i(1) + (1 – Z_i)Y_i(0) $ 的随机性仅仅由于“随机化” $Z_i $ 本身导致的。理解清楚这点,才能理解 Fisher randomization test 和后面的 Neyman repeated sampling procedure。如果读者对于这种有限样本的思考方式不习惯,可以先阅读一下经典的抽样调查教科书,那里几乎全是有限样本的理论,所有的随机性都来自于随机采样的过程。

如果认为潜在结果是固定的数,那么 Fisher sharp null 就和现行的假设检验理论不相悖。这个 null 之所以“sharp”的原因是,在这个零假设下,所有个体的潜在结果都固定了,个体的因果作用为零,唯一的随机性来自于随机化的“物理”特性。定义处理分配机制的向量为 $$ \overrightarrow{Z} = (Z_1, \cdots, Z_n).$$  结果向量为 $$\overrightarrow{Y} = (Y_1, \cdots, Y_n).$$

此时有限样本下的随机化分配机制如下定义:

$$P(  \overrightarrow{Z} |   \overrightarrow{Y}  ) = \binom{n}{m}^{-1}, \forall  \overrightarrow{Y} ,$$

其中, $m = \sum\limits_{i=1}^n Z_i $ 为处理组中的总数。这里的“条件期望”并不是说  $ \overrightarrow{Y}  $ 是随机变量,而是强调处理的分配机制不依赖于潜在结果。比如,我们选择统计量 $$T = T(\overrightarrow{Z}, \overrightarrow{Y}) = \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^n Z_i Y_i –  \frac{1}{n-m }\sum\limits_{i=1}^n (1 – Z_i) Y_i $$
J. Neyman来检验零假设,问题在于这个统计量的分布不易求出。但是,我们又知道,这个统计量的分布完全来自随机化。因此,我们可以用如下的“随机化”方法 (Monte Carlo 方法模拟统计量的分布):将处理分配机制的向量 $ \overrightarrow{Z}  $ 进行随机置换得到$ \overrightarrow{Z}^1 = (Z_1^1, \cdots, Z_n^1) $,计算此时的检验统计量 $ T^1 = T(\overrightarrow{Z}^1, \overrightarrow{Y}) $;如此重复多次($n$ 不大时,可以穷尽所有的置换),便可以模拟出统计量在零假设下的分布,计算出 p 值。

有人说,Fisher randomization test 已经蕴含了 bootstrap 的思想,似乎也有一定的道理。不过,这里随机化的方法是针对一个特例提出来的。

下面要介绍的 Neyman 的方法,其实早于 Fisher 的方法。这种方法在 Neyman 1923 年的博士论文中,正式提出了。这种方法假定 $n $ 个个体中有 $m $个随机的接受处理,目的是估计(有限)总体的平均因果作用:$$ \tau = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \{ Y_i(1) – Y_i(0) \} .$$ 一个显然的无偏估计量是  $$\hat{\tau}  = \bar{y}_1 – \bar{y}_0 =  \frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^n Z_i Y_i –  \frac{1}{n-m} \sum\limits_{i=1}^n (1 – Z_i) Y_i .$$ 但是,通常的方差估计量,

$\hat{\text{Var}}(\hat{\tau})  =  \sum\limits_{Z_i=1} (Y_i – \bar{y}_1)^2 /(m-1)m+  \sum\limits_{Z_i=0} (Y_i – \bar{y}_0)^2/(n-m-1)(n-m) $

高估了方差,构造出来的置信区间在 Neyman – Pearson 意义下太“保守”。可以证明,在个体处理作用是常数的假定下,上面的方差估计是无偏的。

通常的教科书讲假设检验,都是从正态均值的检验开始。Neyman 的方法给出了 $ \tau $ 的点估计和区间估计,也可以用来检验如下的零假设:$$H_0:  \tau = 0.$$

实际中,到底是 Fisher 和零假设合理还是 Neyman 的零假设合理,取决于具体的问题。比如,我们想研究某项政策对于中国三十多个省的影响,这是一个有限样本的问题,因为我们很难想象中国的省是来自某个“超总体”。但是社会科学中的很多问题,我们不光需要回答处理或者政策对于观测到的有限样本的作用,我们更关心这种处理或者政策对于一个更大总体的影响。前者,Fisher 的零假设更合适,后者 Neyman 的零假设更合适。

关于这两种角度的争论,可以上述到 Fisher 和 Neyman 两人。1935 年,Neyman 向英国皇家统计学会提交了一篇论文“Statistical problems in agricultural experimentation”,Fisher 和 Neyman 在讨论文章时发生了激烈的争执。不过,从今天的统计教育来看,Neyman 似乎占了上风。

用下面的问题结束:

  1. 在 sharp null下,Neyman 方法下构造的 T 统计量,是否和 Fisher randomization test 构造的统计量相同?分布是否相同?
  2. Fisher randomization test 中的统计量可以有其他选择,比如 Wilcoxon 秩和统计量等,推断的方法类似。
  3. 当 $ Y $ 是二值变量时,上面 Fisher 的方法就是教科书中的 Fisher exact test。在没有学习 potential outcome 这套语言之前,理解 Fisher exact test 是有些困难的。
  4. 证明 $ E \{  \hat{\text{Var}}(\hat{\tau})  \}  \geq \text{Var}(\hat{\tau})  $。
  5. 假定 $n $ 个个体是一个超总体(super-population)的随机样本,超总体的平均因果作用定义为 $$ \tau_{SP} = E\{ Y(1) – Y(0) \}.$$ 那么 Neyman 的方法得到估计量是超总体平均因果作用的无偏估计,且方差的表达式是精确的;而 sharp null 在超总体的情形下不太适合。
原始的参考文献是:
  • Neyman, J. (1923) On the application of probability theory to agricultural experiments. Essay on principles. Section 9. reprint in Statistical Science. 5, 465-472. with discussion by Donald Rubin.

最近的理论讨论是:

  • Ding, P. (2014). A Paradox from Randomization-Based Causal Inference. On Arxiv.

 

因果推断简介之三:R. A. Fisher 和 J. Neyman 的分歧》有5个想法

  1. 这句话不是很明白:当我们关心有限样本 (finite sample)的因果作用时,每个个体的潜在结果 都是固定的,观测变量 的随机性仅仅由于“随机化” 本身导致的。

    因为在现实生活中,每个个体对处理因素的反映也不完全是一样的。流行病学里说,人分为四类:不管什么样都会生病的;不管怎么样都不会生病的;有治病因素的时候会生病,没有致病因素不生病;还有就是没有致病因素的时候会生病,有致病因素时不生病。

    所以上面这句话不是很明白,不过我对些东西是挺感兴趣的。就是没有系统的学过数学和统计学,希望多指点啊

  2. 好像有点理解了,是不是说处置因素的结果是随机分配Z和结果Y的联合分布?,那么本质上就是随机分配和四类人的联合分布

    1. 差不多是这样。因为人群无论怎么复杂,最终按照结果分类的方式就那四种(如果T和Y都是二值)。

  3. 呵呵,搜索“随机化检验”搜到这里来了,在评估经济周期的领先指标领先显著性的时候用到了随机化检验。

  4. 请问丁老师,Guido Imbens 和 Donald Rubin 所写的因果推断教科书(还未出版),有在线更新的电子版吗?

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